根据《儒林外史》第四十二回至第四十三回的描述，汤大爷（汤由）和汤二爷（汤实）的主要事迹如下：

赴京赶考

两人作为贵州总镇汤奏之子，自诩“官二代”，却荒废学业。他们头戴恩荫巾，大摇大摆地前往南京参加乡试，途中在妓院“践行”，并大摆宴席，场面奢华。

落榜后受命赴贵州

考试落榜后，汤镇台（汤大爷之父）写信命两人回贵州镇远府处理紧急事务。途中遭遇盐船失窃案，两人被误认为“贼喊捉贼”，最终在知县压力下放了船工。

参与镇压苗族叛乱

汤镇台因苗族“蠢动”被调任贵州镇守，汤大爷、汤二爷随行。镇压过程中，汤镇台坚持出兵，最终因意见不合被革职。两人因此被朝廷通缉，需上书申诉。

考场外供奉纸马

考试结束后，两人因担心“文昌帝君、关夫子”保佑，于戏台前供奉纸马祈福。这一细节体现了科举时代“文武双尊”的社会习俗。

总结：

汤大爷、汤二爷以“官二代”身份荒废学业，经历落榜、被通缉、参与镇压叛乱等波折，最终因科举关联被卷入政治风波。