对数运算的10个核心公式推论如下，结合了基本性质与换底公式，涵盖乘法、除法、幂运算等场景：

乘法法则

$\log_a（MN） = \log_a M + \log_a N$

证明：设 $a^x = M$，$a^y = N$，则 $a^{x+y} = MN$，取对数得 $\log_a（MN） = x+y = \log_a M + \log_a N$。

除法法则

$\log_a\left（\frac{M}{N}\right） = \log_a M - \log_a N$

证明：设 $a^x = M$，$a^y = N$，则 $\frac{M}{N} = a^{x-y}$，取对数得 $\log_a\left（\frac{M}{N}\right） = x-y = \log_a M - \log_a N$。

幂运算法则

$\log_a（M^n） = n \log_a M$

证明：设 $\log_a M = x$，则 $a^x = M$，所以 $M^n = （a^x）^n = a^{nx}$，取对数得 $\log_a（M^n） = nx = n \log_a M$。

换底公式

$\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$

证明：设 $\log_a M = x$，则 $a^x = M$，取以 $b$ 为底得 $b^{\log_a M} = b^x = M$，即 $\log_b M = x \log_b a$，所以 $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$。

对数恒等式

$\log_a a = 1$ 和 $\log_a 1 = 0$

证明：由对数定义，$a^1 = a$，所以 $\log_a a = 1$；$a^0 = 1$，所以 $\log_a 1 = 0$。

其他常用推论：

$\log_a b \times \log_b c = \log_a c$（换底公式的变形）；

$\log_a b^n = n \log_a b$（幂运算法则的推广）。