根据搜索结果，银行赠送粽子通常与客户存款金额相关，具体条件如下：

存款金额门槛

扬子银行等机构会根据客户存款金额分级赠送粽子礼盒，例如：

- 大额存款客户（如超过一定金额）可获两箱粽子礼盒、三袋米、两桶鱼等贵重礼品；

- 普通客户则可能获得两盒简装礼盒。

礼品定制与规格

部分银行提供个性化定制服务，例如：

- 兴业银行曾推出手提木盒礼盒，包含方形粽子、竹筒粽子、咸鸭蛋及粗陶手作陶瓷缸，外封套搭配盒内纸品。

活动时效性

以上信息均来自2022-2024年的非官方渠道，具体活动规则可能随时间调整，建议直接咨询银行官方客服确认最新政策。